[BZOJ2653]middle
题面
一个长度为n的序列a,设其排过序之后为b,其中位数定义为b[n/2],其中a,b从0开始标号,除法取下整。给你一个
长度为n的序列s。回答Q个这样的询问:s的左端点在[a,b]之间,右端点在[c,d]之间的子序列中,最大的中位数。
其中a<b<c<d。位置也从0开始标号。我会使用一些方式强制你在线。
Input
第一行序列长度n。接下来n行按顺序给出a中的数。
接下来一行Q。然后Q行每行a,b,c,d,我们令上个询问的答案是
x(如果这是第一个询问则x=0)。
令数组q={(a+x)%n,(b+x)%n,(c+x)%n,(d+x)%n}。
将q从小到大排序之后,令真正的
要询问的a=q[0],b=q[1],c=q[2],d=q[3]。
输入保证满足条件。
第一行所谓“排过序”指的是从小到大排序!
n<=20000,Q<=25000
Output
Q行依次给出询问的答案。
Sample Input
5
170337785 271451044 22430280 969056313 206452321 3 3 1 0 2 2 3 1 4 3 1 4 0Sample Output
271451044
271451044 969056313思路
这道题也是蛮有意思的。我们思考一下,对于单次查询该怎么做。
这里有一个针对中位数的数据结构题的小trick:把大于x的设置为1,小于x的设置为-1,等于x的设置为0。很显然,如果\(sum\)大于0则中位数比x更大,小于0则中位数比x更小,等于0则中位数为x。(在这道题中我们可以把\(sum\)为0的情况归类到中位数大于x里面,原因下面会说)
有了上面这个小trick,我们就可以判断任何一个数和中位数的关系。那么很显然这里可以使用二分。那么问题来了,二分的复杂度是\(O(\log n)\),如果我们对于每一次二分都重新求和,复杂度是\(O(n)\),对于q次查询,总复杂度为\(O(qn\log n)\),很显然是要炸的。
我们发现复杂度里的\(O(q \log n)\)是不能省的(强制在线的查询和二分),那我们就要试图做到\(\log n\)判断一个数是否为中位数。
我们发现,在二分寻找中位数时,不是每一次判断都需要修改全树的。在每次缩小查询范围后(l或r变为mid),范围外的数和下一次二分的数的大小关系是始终不变的,所以我们可以继承上一次修改的结果而不需要再次修改。
另外,对于这种多次查询又是强制在线的数据结构题,我们可以把所有潜在答案计算出来,再用可持久化数据结构储存。
那么整理一下思路,解法如下:
- 先构建一个可持久化线段树,每个叶子节点对应一个序列上的位置,节点初始值为1(毕竟最开始二分的值是无限小)。
- 按照从小到大的顺序加入元素(值为-1)。每加入一次就相当于现在中位数可能的值增加。
- 对于每次查询,我们可以用线段树操作\(maxl(a,b)+sum(b,c)+maxr(c,d)\)来求得中位数的“判定值”。
- 对于每次查询,二分一下答案对应的版本即可。
代码
#include#include #include #include #define maxn (int)(2e4+1000)#define ll long longusing namespace std;int n,q,idx;ll sum[maxn<<5],lmax[maxn<<5],rmax[maxn<<5];int ls[maxn<<5],rs[maxn<<5],rt[maxn],pre,b[7];struct gg{ int num,loc;}a[maxn];void push_up(int x){ sum[x]=sum[ls[x]]+sum[rs[x]]; lmax[x]=max(sum[ls[x]]+lmax[rs[x]],lmax[ls[x]]); rmax[x]=max(sum[rs[x]]+rmax[ls[x]],rmax[rs[x]]); return;}int build(int l,int r){ int now=++idx; if(l==r){ sum[now]=lmax[now]=rmax[now]=1; return now; } int mid=(l+r)>>1; ls[now]=build(l,mid); rs[now]=build(mid+1,r); push_up(now); return now;}bool cop(gg x,gg y){return x.num >1; if(tar<=mid)ls[now]=update(ls[last],l,mid,tar,val); else{rs[now]=update(rs[last],mid+1,r,tar,val);} push_up(now); return now;}ll get_sum(int now,int l,int r,int tl,int tr){ if(tl<=l&&r<=tr)return sum[now]; int mid=(l+r)>>1; ll ans=0; if(tl<=mid)ans+=get_sum(ls[now],l,mid,tl,tr); if(tr>=mid+1)ans+=get_sum(rs[now],mid+1,r,tl,tr); return ans;}ll get_rmax(int now,int l,int r,int tl,int tr){ if(r >1; if(tl<=l&&r<=tr)return rmax[now]; if(tr<=mid)return get_rmax(ls[now],l,mid,tl,tr); if(tl>=mid+1)return get_rmax(rs[now],mid+1,r,tl,tr); return max(get_sum(rs[now],mid+1,r,tl,tr)+get_rmax(ls[now],l,mid,tl,tr),get_rmax(rs[now],mid+1,r,tl,tr));}ll get_lmax(int now,int l,int r,int tl,int tr){ if(r >1; if(tl<=l&&r<=tr)return lmax[now]; if(tr<=mid)return get_lmax(ls[now],l,mid,tl,tr); if(tl>=mid+1)return get_lmax(rs[now],mid+1,r,tl,tr); return max(get_sum(ls[now],l,mid,tl,tr)+get_lmax(rs[now],mid+1,r,tl,tr),get_lmax(ls[now],l,mid,tl,tr));}bool check(int ves){ ves-=1;ves=rt[ves]; ll ans=get_sum(ves,1,n,b[2],b[3])+max(get_rmax(ves,1,n,b[1],b[2]-1),0ll)+max(0ll,get_lmax(ves,1,n,b[3]+1,b[4])); if(ans>=0)return 1; else return 0;}int main(){// freopen("in","r",stdin); scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].num),a[i].loc=i; rt[0]=build(1,n); sort(a+1,a+1+n,cop); for(int i=1;i<=n;i++){ rt[i]=update(rt[i-1],1,n,a[i].loc,-2); } scanf("%d",&q); for(int i=1;i<=q;i++){ for(int j=1;j<=4;j++){ scanf("%d",&b[j]); b[j]=(b[j]+pre)%n; b[j]++; } sort(b+1,b+5); int l=0,r=n; while(l >1; if(check(mid)){l=mid;} else{r=mid-1;} } printf("%d\n",a[l].num);pre=a[l].num; } return 0;}